Площадь трапеции. Приветствую вас! В этой публикации мы рассмотрим указанную формулу. Почему она именно такая и как её понять. Если будет понимание, то и учить её вам нет необходимости. Если же вы просто хотите посмотреть эту формулу и при чём срочно, то сразу можете прокрутить страницу вниз))
Теперь подробно и по порядку.
Трапеция это четырёхугольник, две стороны этого четырёхугольника параллельны, две другие нет. Те, что не параллельны – это основания трапеции. Две другие называются боковыми сторонами.
Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, то такая трапеция называется прямоугольной.
В классическом виде трапецию изображают следующим образом – большее основание находится внизу, соответственно меньшее вверху. Но никто не запрещает изображать её и наоборот. Вот эскизы:
Следующее важное понятие.
Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
Теперь давайте вникнем глубже. Почему именно так?
Рассмотрим трапецию с основаниями a и b и со средней линией l , и выполним некоторые дополнительные построения: через основания проведём прямые, а через концы средней линии перпендикуляры до пересечения с основаниями:
*Буквенные обозначения вершин и других точек не введены умышленно, чтобы избежать лишних обозначений.
Посмотрите, треугольники 1 и 2 равны по второму признаку равенства треугольников, треугольники 3 и 4 тоже самое. Из равенства треугольников следует равенство элементов, а именно катетов (они обозначены соответственно синим и красным цветом).
Теперь внимание! Если мы мысленно «отрежем» от нижнего основания синий и красный отрезок, то у нас останется отрезок (это сторона прямоугольника) равный средней линии. Далее, если мы «приклеим» отрезанные синий и красный отрезок к верхнему основанию трапеции, то у нас получится также отрезок (это тоже сторона прямоугольника) равный средней линии трапеции.
Уловили? Получается, что сумма оснований будет равна двум средним линиям трапеции:
Посмотреть ещё одно объяснение
Сделаем следующее – построим прямую проходящую через нижнее основание трапеции и прямую, которая пройдёт через точки А и В:
Получим треугольники 1 и 2, они равны по стороне и прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Это означает что полученный отрезок (на эскизе он обозначен синим) равен верхнему основанию трапеции.
Теперь рассмотрим треугольник:
*Средняя линия данной трапеции и средняя линия треугольника совпадают.
Известно, что треугольника равна половине параллельного ей основания, то есть:
Хорошо, разобрались. Теперь о площади трапеции.
Площадь трапеции формула:
Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты.
То есть, получается, что она равна произведению средней линии и высоты:
Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мы мысленно отрежем от трапеции треугольники 2 и 4 и положим их соответственно на треугольники 1 и 3:
То у нас получится прямоугольник по площади равный площади нашей трапеции. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии и высоты, то есть можем записать:
Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.
Скачать (посмотреть) материал статьи в формате *pdf
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр.
В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция - вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.
Площадь трапеции
Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции - это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание - a, нижнее основание - b, а высота - h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:
S = ½ * (a+b) * h
т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.
Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию - m. Тогда
Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции - a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:
Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
где d с индексами 1 и 2 - диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.
При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Площадь равнобедренной трапеции
Равнобедренная трапеция - это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция - это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.
Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.
- Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной - с, а и b - длины оснований:
- Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
где а - верхнее основание, с - боковая сторона.
- Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:
S = ½ * (b2 – a2) * tg α
- Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:
S = ½ * d2 * sin α
- Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.
Пусть боковая сторона - с, средняя линия - m, угол - a, тогда:
S = m * c * sin α
Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет - r.
Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:
S = 4r2 / sin α
Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):
Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:
S = a * b / sin α
(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).
Через основания и радиус окружности площадь ищется так:
Если известны только основания, то площадь считается по формуле:
Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию - m вычисляется так:
Площадь прямоугольной трапеции
Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.
Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.
Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.
- Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:
S = (a + b) * h / 2
В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:
S = (a + b) * c / 2
- Другой способ рассчитать площадь - перемножить длину средней линии на высоту:
или на длину боковой перпендикулярной стороны:
- Следующий способ вычисления - через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:
S = ½ * d1 * d2
- Еще один способ вычисления - через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.
Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:
S = (2r + c) * r
- Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:
где m - длина средней линии.
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке , осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.
Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, - 180 градусам.
Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи - пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен.
Трапеция. Определение, формулы и свойства
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον - «столик»; τράπεζα - «стол, еда») - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.Трапеция - четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна.
Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.
Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие - боковыми сторонами.
Трапеции бывают:
- разносторонние ;
- равнобокие ;
- прямоугольные
.Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим - основания трапеции.
A - равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция
B - прямоугольная трапеция
C - разносторонняя трапеция
У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны.
У боковые стороны равны, а основания параллельны.
У основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона - наклонная к основаниям.
Свойства трапеции
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей , равен половине разности оснований и лежит на средней линии. Его длина
- Параллельные прямые, пересекающие стороны любого угла трапеции, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (см. Теорему Фалеса)
- Точка пересечения диагоналей трапеции , точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (см. также свойства четырехугольника)
- Треугольники, лежащие на основаниях трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются подобными. Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапеции
- Треугольники, лежащие на боковых сторонах трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются равновеликими (равными по площади)
- В трапецию можно вписать окружность , если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований)
- Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен удвоенному произведению оснований, деленному на их сумму 2ab / (a +b) (Формула Буракова)
Углы трапеции
Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые .Прямыми бывают только два угла.
У прямоугольной трапеции два угла прямые , а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых.
Тупые углы трапеции принадлежат меньшему по длине основанию, а острые – большему основанию.
Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник
, у которого линия сечения параллельна основанию треугольника.
Важно
. Обратите внимание, что таким способом (дополнительным построением трапеции до треугольника) могут решаться некоторые задачи про трапецию и доказываются некоторые теоремы.
Как найти стороны и диагонали трапеции
Нахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже:
В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке.
a - меньшее из оснований трапеции
b - большее из оснований трапеции
c,d - боковые стороны
h 1 h 2 - диагонали
Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2)
Многоликая трапеция... Она может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной. И в каждом случае нужно знать, как найти площадь трапеции. Конечно, проще всего запомнить основные формулы. Но иногда проще воспользоваться той, которая выведена с учетом всех особенностей конкретной геометрической фигуры.
Несколько слов о трапеции и ее элементах
Любой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, можно назвать трапецией. В общем случае они не равны и называются основаниями. Большее из них — нижнее, а другое — верхнее.
Две другие стороны оказываются боковыми. У произвольной трапеции они имеют различную длину. Если же они равны, то фигура становится равнобедренной.
Если вдруг угол между любой боковой стороной и основанием окажется равным 90 градусам, то трапеция является прямоугольной.
Все эти особенности могут помочь в решении задачи о том, как найти площадь трапеции.
Среди элементов фигуры, которые могут оказаться незаменимыми в решении задач, можно выделить такие:
- высота, то есть отрезок, перпендикулярный обоим основаниям;
- средняя линия, которая имеет своими концами середины боковых сторон.
По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?
Это выражение дается основным, потому что чаще всего можно узнать эти величины, даже когда они не даны явно. Итак, чтобы понять, как найти площадь трапеции, потребуется сложить оба основания и разделить их на два. Получившееся значение потом еще умножить на значение высоты.
Если обозначить основания буквами а 1 и а 2 , высоту — н, то формула для площади будет выглядеть так:
S = ((а 1 + а 2)/2)*н.
Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия
Если посмотреть внимательно на предыдущую формулу, то легко заметить, что в ней явно присутствует значение средней линии. А именно, сумма оснований, деленная на два. Пусть средняя линия будет обозначена буквой l, тогда формула для площади станет такой:
S = l * н.
Возможность найти площадь по диагоналям
Этот способ поможет, если известен угол, образованный ими. Предположим, что диагонали обозначены буквами д 1 и д 2 , а углы между ними — α и β. Тогда формула того, как найти площадь трапеции, будет записана следующим образом:
S = ((д 1 * д 2)/2) * sin α.
В этом выражении можно легко заменить α на β. Результат не изменится.
Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?
Бывают и такие ситуации, когда в этой фигуре известны именно стороны. Эта формула получается громоздкой и ее сложно запомнить. Но возможно. Пусть боковые стороны имеют обозначение: в 1 и в 2 , основание а 1 больше, чем а 2 . Тогда формула площади примет такой вид:
S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ {в 1 2 - [(а 1 - а 2) 2 + в 1 2 - в 2 2) / (2 * (а 1 - а 2))] 2 }.
Способы вычисления площади равнобедренной трапеции
Первый связан с тем, что в нее можно вписать окружность. И, зная ее радиус (он обозначается буквой r), а также угол при основании — γ, можно воспользоваться такой формулой:
S = (4 * r 2) / sin γ.
Последняя общая формула, которая основана на знании всех сторон фигуры, существенно упростится за счет того, что боковые стороны имеют одинаковое значение:
S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ {в 2 - [(а 1 - а 2) 2 / (2 * (а 1 - а 2))] 2 }.
Методы вычисления площади прямоугольной трапеции
Понятно, что подойдет любой из перечисленных для произвольной фигуры. Но иногда полезно знать об одной особенности такой трапеции. Она заключается в том, что разность квадратов длин диагоналей равна разности, составленной из квадратов оснований.
Часто формулы для трапеции забываются, в то время как выражения для площадей прямоугольника и треугольника помнятся. Тогда можно применить простой способ. Разделить трапецию на две фигуры, если она прямоугольная, или три. Одна точно будет прямоугольником, а вторая, или две оставшиеся, треугольниками. После вычисления площадей этих фигур останется их только сложить.
Это достаточно простой способ того, как найти площадь прямоугольной трапеции.
Как быть, если известны координаты вершин трапеции?
В этом случае потребуется воспользоваться выражением, которое позволяет определить расстояние между точками. Его можно применить три раза: для того, чтобы узнать оба основания и одну высоту. А потом просто применить первую формулу, которая описана немного выше.
Для иллюстрации такого метода можно привести такой пример. Даны вершины с координатами А(5; 7), В(8; 7), С(10; 1), Д(1; 1). Нужно узнать площадь фигуры.
До того как найти площадь трапеции, по координатам нужно вычислить длины оснований. Потребуется такая формула:
длина отрезка = √{(разность первых координат точек) 2 + (разность вторых координат точек) 2 }.
Верхнее основание обозначено АВ, значит, его длина будет равна √{(8-5) 2 + (7-7) 2 } = √9 = 3. Нижнее — СД = √ {(10-1) 2 + (1-1) 2 } = √81 = 9.
Теперь нужно провести высоту из вершины на основание. Пусть ее начало будет в точке А. Конец отрезка окажется на нижнем основании в точке с координатами (5; 1), пусть это будет точка Н. Длина отрезка АН получится равной √{(5-5) 2 + (7-1) 2 } = √36 = 6.
Осталось только подставить получавшиеся значения в формулу площади трапеции:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Задача решена без единиц измерения, потому что не указан масштаб координатной сетки. Он может быть как миллиметр, так и метр.
Примеры задач
№ 1. Условие. Известен угол между диагоналями произвольной трапеции, он равен 30 градусам. Меньшая диагональ имеет значение 3 дм, а вторая больше ее в 2 раза. Необходимо посчитать площадь трапеции.
Решение. Для начала нужно узнать длину второй диагонали, потому что без этого не удастся сосчитать ответ. Вычислить ее несложно, 3 * 2 = 6 (дм).
Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:
S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм 2). Задача решена.
Ответ: площадь трапеции равна 4,5 дм 2 .
№ 2. Условие. В трапеции АВСД основаниями являются отрезки АД и ВС. Точка Е - середина стороны СД. Из нее проведен перпендикуляр к прямой АВ, конец этого отрезка обозначен буквой Н. Известно, что длины АВ и ЕН равны соответственно 5 и 4 см. Нужно вычислить площадь трапеции.
Решение. Для начала нужно сделать чертеж. Поскольку значение перпендикуляра меньше стороны, к которой он проведен, то трапеция будет немного вытянутой вверх. Так ЕН окажется внутри фигуры.
Чтобы отчетливо увидеть ход решения задачи, потребуется выполнить дополнительное построение. А именно, провести прямую, которая будет параллельна стороне АВ. Точки пересечения этой прямой с АД — Р, а с продолжением ВС — Х. Получившаяся фигура ВХРА — параллелограмм. Причем его площадь равна искомой. Это связано с тем, что треугольники, которые получились при дополнительном построении, равны. Это следует из равенства стороны и двух прилежащих к ней углов, один — вертикальный, другой - накрест лежащий.
Найти площадь параллелограмма можно по формуле, которая содержит произведение стороны и высоты, опущенной на нее.
Таким образом, площадь трапеции равна 5 * 4 = 20 см 2 .
Ответ: S = 20 см 2 .
№ 3. Условие. Элементы равнобедренной трапеции имеют такие значения: нижнее основание - 14 см, верхнее — 4 см, острый угол — 45º. Нужно вычислить ее площадь.
Решение. Пусть меньшее основание имеет обозначение ВС. Высота, проведенная из точки В, будет называться ВН. Поскольку угол 45º, то треугольник АВН получится прямоугольный и равнобедренный. Значит, АН=ВН. Причем АН очень легко найти. Она равна половине разности оснований. То есть (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).
Основания известны, высота сосчитана. Можно пользоваться первой формулой, которая здесь была рассмотрена для произвольной трапеции.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2).
Ответ: Искомая площадь равна 45 см 2 .
№ 4. Условие. Имеется произвольная трапеция АВСД. На ее боковых сторонах взяты точки О и Е, так что ОЕ параллельна основанию АД. Площадь трапеции АОЕД в пять раз больше, чем у ОВСЕ. Вычислить значение ОЕ, если известны длины оснований.
Решение. Потребуется провести две параллельные АВ прямые: первую через точку С, ее пересечение с ОЕ — точка Т; вторую через Е и точкой пересечения с АД будет М.
Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н 1 , большей АОЕД — н 2 .
Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:
(х + а 2) * н 1 = 1/5 (х + а 1) * н 2
н 1 /н 2 = (х + а 1) / (5(х + а 2)).
Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:
н 1 /н 2 = (х - а 2) / (а 1 - х).
В двух последних записях в левой части стоят равные величины, значит, можно написать, что (х + а 1) / (5(х + а 2)) равно (х - а 2) / (а 1 - х).
Здесь требуется провести ряд преобразований. Сначала перемножить крест накрест. Появятся скобки, которые укажут на разность квадратов, после применения этой формулы получится короткое уравнение.
В нем нужно раскрыть скобки и перенести все слагаемые с неизвестной «х» в левую сторону, а потом извлечь квадратный корень.
Ответ : х = √ {(а 1 2 + 5 а 2 2) / 6}.
