Рассчитать вега опциона из дельты. Производные цены опциона или «греки. Факторы, влияющие на тету




Интересная статья про опционы попалась (http://www.comon.ru/user/E_dyatel/blog/post.aspx?index1=91788),
понятно и интересно написано для тех, кто хочет начать работать с опционами будет полезно, надеюсь будет продолжение. Автору респект!




Опционы для чайников.



«Если деньги мерить кучками, то у меня небольшая ямка»
— слова опционщика после маржинкола.
Часть 1. Зачем все это написано.
Начнем с того, что мне абсолютно по барабану следующее:

  • Зарабатываете ли Вы на бирже или сливаете депозит за депозитом;
  • Торговля опционами на зарубежных площадках;
  • Ваш опыт работы на фондовом рынке России;

Чего я хочу:
  • Увеличения числа активных трейдеров рынка опционов России;
  • Увеличения активности в опционных стаканах;
  • Банально хочется бабла:) ;

В данном цикле статей будут приводиться примеры, разбираться практические ситуации и даваться общие рекомендации применительно к рынку опционов России. Все аналогии и совпадения с рынками опционов других стран случайны, автор за них ответственности не несет. Собственно как и за рынок опционов России:)

Часть 2. Рынок опционов России.
Рынок опционов России можно охарактеризовать следующей фразой:
Если Вас интересует опционная торговля, то работать придется с опционами на индекс РТС. Как ни печально, но если сопоставить объемы торгов опционами по разным инструментам, то выглядит это примерно так:
  • Есть большой, ростом с взрослого человека, мешок. Это дневной объем торгов опционами на индекс РТС. И где-то внизу, ниже плинтуса, ростом с тощего домашнего таракана малюсенький мешочек - это объем торгов по всем другим опционам. Вот как-то так.
Поэтому говоря про рынок опционов, придется говорить про опционы на индекс РТС. Да, этот базовый актив обладает кучей недостатков, но он ликвиден и это его качество перекрывает все другие недостатки.
Ликвидность рынка опционов на индекс РТС я бы оценил примерно так: вы можете масштабировать свои стратегии без существенной потери прибыльности до уровня депозита примерно 50-80 миллионов рублей.

Существенный момент - я не рассматриваю стратегии HFTна опционах.

В данной книге я не стану приводить определение опциона, это есть в куче мест. Перейдем сразу к специфике.

Часть 3. Базовые понятия.

3.1. Как живут греки в 21-м веке.

Греки. Это слово, как правило идет рядом со словом «опцион». Откуда взялись греки? Начнем с того, что вопрос справедливой цены опциона еще долго будет стоять на повестке дня. В данный момент считается, что он временно решен при помощи формулы Блэка-Шоулза (Б-Ш). Формула представлена в некоторых предположениях и допущениях, которые являются «родовой травмой» данной теории. Но как говорится: «Если ты такой умный - где твои деньги?». Не нравится - придумайте свое. Наша задача - научится пользоваться тем, что есть. Детально разбирать теорию БШ я тут не буду, для этого есть ворох умной литературы, найдете сами, Гугль еще в России не запретили.

Итак: греки - это переменные в формуле БШ, отвечающие за зависимость теоретической цены опциона от той или иной неопределенности. Всего классическая теория БШ выделяет следующие греки: дельта, гамма, вега, тэта, ро. Рассмотрим подробнее.


3.2. Дельта.

Первая переменная - зависимость теоретической цены от стоимости базового актива. Дельта показывает, насколько изменится теоретическая цена опциона при изменении цены базового актива на 1 пункт. Понятие дельты можно привести и для самого базового актива - фьючерса на индекс РТС. Дельта фьючерса всегда равна 1. Дельта опциона при изменении цены базового актива изменяется нелинейно. Выделяют три состояния теоретической цены опциона относительно его страйка и текущей цены базового актива.

Опцион в состоянии «на деньгах». Обозначается«АТМ» — at the money. При этом базовый актив торгуется близко к страйку опциона. На сколько - ну например плюс-минус 500-1000 пунктов для опционов на индекс РТС. Для этого состояния дельта примерно 0.5.

Опцион «в деньгах». Обозначается«ITM»- in the money. Допустим, есть опцион Call со страйком 135000. Базовый актив торгуется на уровне 140000. Данный опцион находится «в деньгах» на 5000 пунктов. Дельта такого опциона примерно 0.7. Если при той же цене БА рассматривать опцион Callсо страйком 120000, то он будет уже глубоко в деньгах и его дельта будет равна 0.95, т.е. такой опцион будет вести себя при изменении цены базового актива почти как фьючерс.

Опцион «вне денег». Обозначается«OTM»- out the money. Пусть базовый актив равен 140000, как и в предыдущем примере. Возьмем опцион Putсо страйком 135. Опцион вне денег на 1 страйк. Его дельта будет примерно 0.3. Если взять Putсо страйком 120000, то он будет вне денег на 4 страйка и его дельта равна примерно 0.05.

В ходе приведения примеров значения дельты я постоянно использовал слово «примерно». А что, нельзя посчитать дельту точно, спросит дотошный читатель? Можно, но не в этой жизни:)! Мир в общем и мир опционов в частности - несовершенен, одна неопределенность влияет на другую.

В формуле БШ присутствует второй грек - зависимость теоретической цены от волатильности. Называется Вега.


3.3. Вега.

Данный «грек» показывает, насколько изменится теоретическая цена опциона при изменении волатильности на 1 процент. О как! Вот ту нас ждет первая опционная хохма. Волатильность - в том смысле, в котором она входит в формулу БШ нельзя измерить. Это так называемая IV- impliedvolatilityили «подразумеваемая» или «опционная» волатильность. Для этой сущности подойдет определение «померяй то - не знаю что».

Поясню. Обычно мы всегда решаем так называемую «прямую задачу». Когда есть формула зависимости величины от какого-либо фактора, то меряем фактор и вычисляем значение величины. Тут все не так:).

Задача сводится к следующему: по имеющимся котировкам на покупку и продажу в опционных стаканах, на различных страйках и текущему базовому активу, вычислить значения IVна различных страйках, которые максимально точно согласовывались бы с формулой БШ. Методика приведена в документе биржи http://fs.rts.ru/files/5562/ .

Далее полученные значения IVиспользуются для расчета теоретической цены опциона и других «греков».

Тут сразу напишу про опасности, примеры которых почерпнуты из личного опыта и тематических форумов.

Опасность.

Предположим у Вас есть некий «Грааль», используя который Вы хотите стать вторым Баффетом. Грааль содержит в себе опционы, находящиеся довольно далеко от торгуемого базового актива, ну например страйка на 4. Если взглянуть в торговый опционный терминал, то можно увидеть, что основной объем операций по опционам проходит в диапазоне плюс-минус два страйка от цены базового актива. Если отойдем на 4 страйка в сторону, особенно в части опционов «в деньгах», то вдруг обнаружим, что предложения на покупку и продажу будут иметь разницу больше 1000 пунктов, вместо привычных 30-50 на страйке АТМ (привыкаем к терминам J). Или вообще в стакане нет адекватных заявок, стоит «куплю по 100» и «продам по 100000».

Ну и пусть, у нас же «Грааль», а не что-нибудь. Ставим котировку на продажу чуть ниже биржевой теоретической цены (мы хотим гарантированно продать, чтобы достроить «грааль») и смотрим на результат. Результат будет странный. Через 3 минуты (время пересчета теоретической цены биржей) теоретическая цена станет ниже. Никого больше в стакане нет и мы передвинем свою заявку на продажу еще ниже. Опять не исполнилось, но теоретическая цена снова опустилась ниже нашей заявки. Так может продолжаться долго.
В конце концов, ваше «бодание» с теоретической ценой и методикой расчета биржей IV привлечет внимание некого робота, который занимается своей оценкой справедливости текущего распределения заявок на куплю-продажу на всех страйках в зависимости от IV и цены базового актива. В пустом «стакане» мы сами, своими заявками опустили теоретическую цену биржи ниже разумного предела. Робот удовлетворит нашу заявку на продажу и скорее всего, цена будет очень не выгодна для нас.
По похожему сценарию развивались события у одного из участников, который таким образом опустил цену на 5000 пунктов вниз и получил последующий убыток. Если у вас работает автоматизированный алгоритм ограничения от подобных ситуаций нужно закладывать в обязательном порядке. Методика биржи по расчету кривой опционной волатильности имеет подобные уязвимости.

Продолжим про Вегу. Лично я не занимаюсь торговлей волатильностью в чистом виде. Т.е. я не пытаюсь продать что-то на высокой IV и откупить при низкой. Я рассматриваю IV как некую неприятность, бороться с которой будем наличием дополнительных денег на депозите. Про рекомендации реальной торговли - позже.


3.4. Гамма.

По своей сути Гамма - вторая производная от цены базового актива. Т.е. это скорость изменения дельты при изменении базового актива на 1 пункт. По качественному поведению гамма имеет экстремум около страйка. Именно тут скорость изменения дельты максимальна. Данный грек используется продвинутыми опционными трейдерами для построения оптимальных для них, конструкций и портфелей.


3.5. Тэта.

Четвертый грек - Тэта. Она же «скорость временного распада». В переводе на наш, народный это означает - сколько денег потеряет теоретическая цена опциона за сутки. В модели БШ тэта обратно пропорциональна корню квадратному из оставшегося до экспирации, времени. Т.е. тэта нелинейно растет к экспирации.

Практика.

На практике, тэта и вега на страйке АТМ, примерно за 2 недели до экспирации становятся равны друг другу.
Ориентировочные значения тэты страйков АТМ, за 2-3 недели до экспирации, волатильности около 30-35 и базовом активе 135-140000 будет 95-110 рублей/сутки.

Все «греки» как правило выводятся в любой, более или менее, приличный торговый брокерский терминал. Для расчета брокерская система может использовать значения IV поставляемые биржей или есть возможность проставить свое собственное значение.

Последний «грек» — Ро. Это скорость изменения теоретической цены опциона от величины без рисковой процентной ставки (альтернативное вложение средств). В системе расчета IV, принятой биржей, значение этой ставки равно нулю. Короче на данный грек честно забиваем и забываем о нем.

" TO BE CONTINUED..........."

Содержание:

Стоимость опциона определяется многими факторами, такими как цена исполнения, время до погашения и подразумеваемая волатильность, процентные ставки, и дивиденды (в случае опционов на акции и индексы). Риск для каждого, кто покупает или продает опционы, заключается в том, что стоимость опциона изменяется. Его стоимость может измениться, если изменится любой из факторов, определяющих его стоимость. Благодаря математическим моделям оценки стоимости опционов, возможно вычислить влияние изменения любого из этих факторов. Для каждого фактора существует связанный с ним параметр риска. Общее название этих параметров – «Греки». С их помощью мы можем спрогнозировать, как изменится наш опционный портфель (позиция) при изменении подразумеваемой волатильности, цены БА или времени до погашения. Однако, при использовании «греков» существует дополнительная проблема – «греки» тоже изменяются. Они тоже изменяются в результате изменения факторов, определяющих стоимость опциона. Поэтому нам также нужно знать как «греки» изменяются при перемене обстоятельств.

Дельта.

Дельта показывает, как изменится стоимость опциона при изменении цены БА.

Дельта = (Изменение стоимости опциона)/(Изменение стоимости БА)

Обычно дельта выражается в виде процента или дроби. То есть, можно сказать, что дельта опциона равна 0,5 или 50%. Это значит, стоимость опциона изменится на половину изменения в цене БА. Если цена БА вырастет на 100 единиц, то стоимость опциона увеличится на 50. Отрицательная дельта означает, что при росте цены БА, стоимость опциона уменьшится.

Кроме основного определения дельты, существуют еще три варианта интерпретации ее значения:

  • Дельта – коэффициент хеджа. Если мы хотим «обнулить» риск, связанный с дельтой, мы используем базовый актив. Значение дельты определяет, какое количество базового актива нам надо использовать для хеджирования. Например, если значение дельты равно 30%, то это означает, что мы должны использовать 3 лота базового актива на каждые 10 лота опционов.
  • Дельта примерно равна вероятности того, что опцион окажется в деньгах. Например, опцион с дельтой 5% имеет вероятность равную примерно 5% оказаться в деньгах на момент погашения. Опцион с дельтой 50% (опцион «около денег») имеет одинаковые шансы на момент погашения быть «в деньгах» или «без денег».
  • Дельта равна эквивалентной позиции в базовом активе. Например, если дельта опциона равна +25%, то это значит, что каждые купленные 100 лотов опционов соответствуют купленным 25 лотам базового актива.

Значения дельты различных опционов.

Дельта опционов колл положительная, а опционов пут – отрицательная. Это должно быть понятно, если вспомнить основное определение дельты. Если цена базового актива падает, то это однозначно уменьшает стоимость опциона колл, и увеличивает стоимость опциона пут.

Абсолютное значение дельты опционов «в деньгах» больше 50%. Дельта опционов «глубоко в деньгах» стремится к 100%, означая, что их стоимость изменяется один-в-один с ценой БА, и что вероятность оказаться в деньгах у этих опционов 100%.

Абсолютное значение дельты опционов «около денег» равно 50%.

Абсолютное значение дельты опционов «без денег» ниже 50%. Дельта опционов «далеко без денег» стремится к 0, отражая тот факт, что вероятность этих опционов оказаться в деньгах очень и очень не велика.

Абсолютное значение дельты опционов «без денег» обычно выше для опционов с большим сроком до погашения (при равенстве всех остальных параметров). Это должно быть интуитивно понятно, потому что опцион «без денег» с большим сроком до погашения имеет больше шансов оказаться в деньгах, чем опцион с таким же страйком, но меньшим сроком до погашения.

Сумма дельты опциона колл и абсолютного значения дельты опциона пут с одинаковыми страйками равна 100%.

Дельта опционной стратегии.

Дельта опционной стратегии (комбинации различных опционов) – сумма дельт всех входящих в позицию опционов.

Например, дельта синтетического фьючерса будет равна 1 или 100%. Если дельта колла равна 0,6, то дельта соответствующего пута будет равна -0,4. А чтобы получить синтетический фьючерс нужно купить колл и продать пут. Соответственно, дельта этой стратегии будет равна 0,6 – (-0,4) = 1.

А, например, дельта стрэнгла или стрэддла может быть равна 0, потому что коллы и путы продаются или покупаются вместе, и их дельты могут полностью или почти полностью аннулировать друг друга.

Короче, позиция, состоящая из длинного колла и короткого пута, будет обладать положительной дельтой, а позиция, состоящая из короткого колла и длинного пута, - отрицательной дельтой.

Факторы, влияющие на дельту.

  • Дельта опционов колл положительна, опционов пут – отрицательна.
  • Цена базового актива влияет на дельту опциона. В случае опционов колл, чем выше цена базового актива, тем больше дельта. В случае опционов пут, чем ниже цена базового актива, тем выше абсолютное значение дельты.
  • Время до погашения тоже влияет на дельту. В случае опционов «без денег», чем больше времени до погашения, тем больше абсолютное значение дельты (вероятность оказаться в деньгах выше, чем больше времени до погашения). У опционов колл «около денег» дельта близка 0,5 (50%), а у опционов пут «около денег» дельта около -0,5 (-50%). В случае опционов «в деньгах», чем больше времени до погашения, тем меньше абсолютный уровень дельты. Потому что, больше шансов оказаться «без денег». Или по другому, потому что абсолютное значение дельты опционов «без денег» растет с увеличением времени до погашения; а сумма дельт опционов пут и колл одного страйка должна равняться 100%, то, соответственно, дельта опционов «в деньгах» должна уменьшаться.
  • Чем выше подразумеваемая волатильность, тем больше дельта опционов «без денег», и тем меньше дельта опционов «в деньгах». Повышение уровня подразумеваемой волатильности аналогично увеличению срока до погашения.

Вега.

Вега показывает, как изменится стоимость опциона при изменении подразумеваемой волатильности.

Вега = (Изменение стоимости опциона)/(Изменение подразумеваемой волатильности)

Подразумеваемая волатильность – один из ключевых факторов, определяющих стоимость опциона, поэтому очень важно понять, как ее изменение влияет на стоимость опционной позиции (опционного портфеля). Любое увеличение подразумеваемой волатильности увеличивает стоимость опциона, независимо колл это или пут.

Вегу обычно выражают через число пунктов изменения стоимости опциона на каждый процентный пункт изменения волатильности. Если вега опциона 0,1, то с ростом (уменьшением) волатильности на 1 процентный пункт стоимость опциона увеличится (уменьшится) на 0,1. Если стоимость опциона = 1,45 при 20%-й волатильности, то при волатильности 21% его стоимость составит 1,55; а при волатильности 19% - 1,35.

Значения веги различных опционов.

Если посмотреть на рис.1, то можно увидеть, что веги опциона колл и опциона пут с одинаковым страйком одинаковы. Вега опционов «около денег» имеет наибольшее значение. А чем больше опцион становится «без денег», тем меньшим становится значение веги. И этому есть не только математическое объяснение, но и интуитивное. Вспомним, что вега – это изменение стоимости опциона при изменении подразумеваемой волатильности, и зададим себе вопрос: Стоимость каких опционов изменится в большей степени при изменении подразумеваемой волатильности? Изменение в подразумеваемой волатильности означает, что оценка ожидаемой волатильности цена базового актива на период до погашения опциона изменилась. И это будет иметь наибольшее влияние на опционы «около денег». Чтобы понять это, давайте сравним опцион «около денег» и опцион «далеко без денег». Увеличение подразумеваемой волатильности на 1% не окажет существенного влияния на опцион «глубоко без денег», он как был «глубоко без денег», так таким и останется. В тоже время опцион «около денег» балансирует на грани: быть ему «в деньгах» или «без денег». 1%-е увеличение подразумеваемой волатильности определенно увеличит его стоимость, так как он очень чувствителен к изменениям подразумеваемой волатильности. Другими словами, опцион «около денег» имеет более высокую вегу по сравнению с опционом «глубоко без денег». В рамках одной опционной серии ни один опцион не имеет большую вегу, чем опцион «около денег». И это можно увидеть на рис.1.

Рисунок 1. "Греки" опционов колл и пут.

Вега также увеличивается по мере увеличения срока до погашения. Если сравнить два опциона с одинаковым характеристиками, и единственным отличием в сроке до погашения, то можно увидеть, что вега опциона с большим сроком до погашения больше веги опциона с меньшим сроком до погашения. Смотри рис.2.


Рисунок 2.

Попробуем опять интуитивно понять, почему это так. Рассмотрим два опциона «глубоко без денег». Один опцион имеет срок погашения 1 минута, а второй – 1 год. Стоимость одноминутного опциона не изменится сильно в результате незначительного изменения подразумеваемой волатильности. Вероятность того, что это изменение сильно увеличит или уменьшит шансы этого опциона оказаться «в деньгах» очень мала, поэтому его стоимость почти не изменится. Или, одноминутный опцион обладает маленькой вегой, потому что изменение его стоимости в результате изменения подразумеваемой волатильности незначительно.

В тоже время стоимость годового опциона может измениться значительно, у изменения подразумеваемой волатильности есть много времени чтобы оказать эффект на стоимость опциона. Другими словами, у этого опциона вега больше.

Вега опционной стратегии.

Чтобы определить суммарную вегу опционной стратегии, складываем веги всех длинных опционов, и вычитаем веги всех коротких. Например, вега вертикального «бычьего» колл-спреда: вега опциона колл с более низким страйком (купленного) минус вега опциона колл с более высоким страйком (проданного).

Мы можем ассоциировать вегу позиции как количество рублей (долларов, и т.п.), которое мы заработаем или потеряем, если подразумеваемая волатильность (на каждом страйке) изменится на 1%. Например, если вега нашей позиции = $1000, то при росте подразумеваемой волатильности на 1% мы заработаем $1000; а в случае падения подразумеваемой волатильности на, например, 5%, мы потеряем $5000.

Но нужно помнить, что это полностью обосновано, если подразумеваемая волатильность каждого опциона изменяется одинаково. То есть, суммирование значений веги двух опционов колл имеет смысл, если эти опционы выписаны на один базовый актив, имеют одинаковую дату до погашения, и их страйки расположены не далеко друг от друга. А если опционы выписаны на разные базовые активы, или имеют различные сроки до погашения, то суммирование их вег имеет смысл, если подразумеваемые волатильности этих опционов изменяются, как минимум, почти идентично.

Факторы, влияющие на вегу.

Вега – это не фиксированная величина. Она изменяется при изменении ситуации.

Время: вега всех опционов уменьшается с приближением даты экспирации.

Подразумеваемая волатильность: на вегу влияют изменения в подразумеваемой волатильности.

Изменение цены базового актива: вега опциона (а соответственно и опционной стратегии) изменяется с изменением цены базового актива. Чем ближе опцион становится «около денег», тем выше становится его вега.

Вега – это один из основных рисков при опционной торговле. Подразумеваемая волатильность постоянно изменяется, а так как это один из основных факторов, определяющих стоимость опционов, то ее воздействие на стоимость опционного портфеля необходимо понимать.

Гамма.

Гамма показывает, как изменится значение дельты при изменении цены базового актива.

Гамма = (Изменение дельты)/(Изменение цены БА)

Обычно гамму выражают через изменение дельты на 1 пункт изменения цены БА. Например, если дельта опциона равна 0,5, а гамма равна 0,1, то при увеличении цены БА на 1 пункт дельта опциона изменится до 0,6. А при уменьшении цены БА на 1 пункт дельта опциона станет равна 0,4.

Гаммы всех опционов на один БА суммируются без ограничений. В то время как веги опционов можно суммировать, если есть уверенность в идентичном (или почти идентичном) изменении их подразумеваемых волатильностей, гаммы можно суммировать без оглядки на это. Это связано с тем, что гамма связана с изменением цены БА, а не с изменением подразумеваемой волатильности. А изменение цены БА одинаково для всех опционов, привязанных к этому БА.

Значения гаммы различных опционов .

Гамма имеет наибольшее значение «около денег». Чем больше опцион становится «без денег» или «в деньгах», тем меньшей становится его гамма. И этому тоже есть интуитивное объяснение. Вопрос: При изменении цены БА дельта какого опциона изменится в большей степени? Снова рассмотрим два опциона: «глубоко без денег» и «около денег». У опциона «глубоко без денег» абсолютное значение дельты минимально, так как дельта – это вероятность того что опцион окажется в деньгах. Если цена БА изменится на 1 пункт, окажет ли это сильное влияние на дельту этого опциона? Конечно, нет. Этот опцион «глубоко без денег», и цена БА должна измениться очень значительно, чтобы существенно увеличить вероятность оказаться в деньгах. А у опциона «около денег» при изменении цены БА на 1 пункт дельта определенно изменится. Этот опцион при небольшом движении цены БА может стать либо «в деньгах» либо «без денег», поэтому его дельта очень чувствительна к изменениям цены БА. То есть, гамма опциона «около денег» больше, чем гамма опциона «без денег».

Гамма увеличивается при приближении экспирации. То есть, если опционы различаются только сроками погашения, то у опциона с большим сроком гамма будет меньше, чем у опциона с более коротким сроком. Опять рассмотрим два опциона «около денег»: с погашением через 1 минуту и 1 год. Даже при незначительном изменении цены БА дельта одноминутного опциона может измениться либо до 0, либо до 1, потому что вероятность оказаться в деньгах у такого опциона очень чувствительна к изменениям в цене БА. Другими словами, гамма этого опциона очень высока. В случае одногодичного опциона незначительное изменение цены БА вряд ли приведет к изменению его дельты. В «одногодовой» перспективе такое изменение в цене БА очень незначительно изменит вероятность оказаться «в деньгах» или «без денег». То есть, гамма этого опциона мала.

Гамма опционной стратегии.

Чтобы определить суммарную гамму опционной стратегии, складываем гаммы всех длинных опционов, и вычитаем гаммы всех коротких. Однако нужно помнить, что гамма опционной стратегии изменяется по мере изменения цены БА.

Факторы, влияющие на гамму.

  • Время. По мере приближения к дате экспирации гамма опционов «около денег» увеличивается экспоненциально от почти 0 (большой срок до погашения) до почти бесконечности (за секунды перед экспирацией). Для опционов «без денег» картина более сложная. По мере приближения даты погашения их гамма в начале увеличивается, а затем, начинает уменьшаться. Это происходит потому, что к экспирации гамма опционов «без денег», наряду с другими «греками», должна полностью исчезнуть.
  • Подразумеваемая волатильность. Чем выше подразумеваемая волатильность, тем ниже гамма. Это просто запомнить, если вспомнить, что увеличение подразумеваемой волатильности оказывает такой же эффект как и увеличение срока экспирации.
  • Цена БА. Гамма изменяется при изменении цены БА. Любое изменение цены БА делает опционы ближе или дальше от «около денег», соответственно изменяется и их гамма.

В каком-то смысле гамма-риск менее значим, чем, например, вега-риск. Можно оценить вегу позиции и сделать точный расчет о размерах риска, не оглядываясь на другие «греки». В случае гамма-риска это сделать труднее. Частично потому, что мы можем конкретно увидеть потери от гаммы, если мы продаем опционы (т.е. продаем гамму). Мы не можем потерять деньги, если у нас длинная гамма, а в случае веги мы можем потерять деньги в обоих случаях. Это является прямым результатом того, как гамма себя проявляет и влияет на наш опционный портфель.

Но такой подход к оценке гамма-риска не является правильным. Более правильно рассматривать гамму как неразрывно связанную с тетой, чтобы полностью понимать ситуацию. Например, если наша позиция имеет короткую гамму, мы должны посмотреть, какое количество теты (временного распада) мы зарабатываем в качестве компенсации за наш гамма-риск. Или, если наша позиция длинная по гамме, мы должны посмотреть, какое количество теты (временного распада) мы теряем в качестве платы за положительную гамму. То есть, когда опционный трейдер говорит, что гамма его позиции, например, опционы на нефтяные фьючерсы = 100; это дословно означает, что дельта его позиции изменится на 100 фьючерсов при изменении цены нефти на 1 пункт. Но риск его позиции не совсем ясен пока нет информации о тете позиции. «Гамма моей позиции = 100, и тета = -$1000» - более полная оценка гамма-риска.

Тета.

Тета показывает, как изменится стоимость опциона при изменении времени до погашения.

Тета = (Изменение стоимости опциона)/(Изменение времени до погашения)

Время до экспирации – один из ключевых факторов, определяющих стоимость опциона. Поэтому очень важно понимать, как оно влияет на стоимость опционной позиции (портфеля).

Уменьшение времени до экспирации уменьшает стоимость любого опциона.

Тета обычно выражается в пунктах снижения стоимости опциона за день в отсутствие иных изменений на рынке. Опцион с тетой 0,05 теряет ежедневно 0,05 своей стоимости, если при этом не происходит никаких других изменений в рыночных условиях. Если сегодня этот опцион стоит 2,75, то завтра он будет стоить 2,70, а послезавтра – 2,65.

Теты опционов можно складывать без ограничений. Это возможно, так как тета представляет собой количество рублей (долларов, и т.п.) на которые уменьшается наша опционная позиция (портфель) каждый день, и это не зависит на какой базовый актив выписан опцион.

Суммарная тета позиции – сумма всех тет индивидуальных опционов.

Время движется только в одном направлении, и технически тета – величина положительная. Однако для удобства и с целью напоминания о том, что тета показывает снижение стоимости опциона со временем, иногда ее пишут со знаком «минус». Тету опциона, теряющего ежедневно 0,05, будем обозначать как -0,05. Следовательно, у длинной опционной позиции тета всегда будет отрицательной, а у короткой – положительной. Тогда как у гаммы все наоборот, у длинной опционной позиции – гамма положительная, а у короткой – отрицательная.

Значения теты различных опционов.

Опционы «около денег» обладают наибольшей тетой, по мере того как страйк все дальше и дальше уходит от «около денег» тета опционов уменьшается. Попробуем понять это интуитивно. На какие опционы уменьшение времени до экспирации оказывает наибольшее влияние? Уменьшение времени до погашения означает, что вероятность оказаться «в деньгах» для опциона уменьшается. Как и ранее, рассмотрим два опциона: «глубоко без денег» и «около денег». Как уменьшение времени до погашения на один день повлияет на опцион «глубоко без денег»? Ответ: почти никак. Вероятность этого опциона оказаться «в деньгах» почти не изменилась. А опцион «около денег» балансирует на грани: быть «в деньгах» или «без денег», поэтому он очень чувствителен к изменению времени до погашения. Другими словами, тета опциона «около денег» выше, чем тета опциона «глубоко без денег».

Тета опциона с большим сроком до погашения меньше, чем тета опциона с тем же страйком, но более коротким сроком до погашения.

Тета опционной стратегии.

Чтобы определить тету опционной стратегии, нужно сложить значения теты всех опционов, составляющих эту позицию. Однако нужно помнить, тета опционной стратегии не постоянна. В частности, опционный трейдер должен знать, как изменится тета позиции по мере изменения цены БА.

Факторы, влияющие на тету.

  • Время. По мере приближения даты экспирации тета опционов «около денег» увеличивается экспоненциально, от почти нуля (для опционов с большим сроком до погашения) до почти бесконечности (для опционов за мгновения до экспирации). Тета опционов «без денег» обычно увеличивается по мере приближения даты погашения, но затем, в некоторой точке, тета начинает опять уменьшаться, потому что эти опционы к этому времени теряют почти всю свою стоимость.
  • Подразумеваемая волатильность. Чем выше подразумеваемая волатильность, тем больше тета.
  • Цена БА. Изменения цены БА влияют на то, превращают опционы «около денег» в опционы «в деньгах» или «без денег».

Тета-риск сам по себе менее значим, чем вега-риск. Так как не возможно в полной мере оценить тета-риск без соответствующего гама-риска. Общепринято рассматривать тету как стоимость длинной позиции (соответственно длинной гаммы), и как выгоду короткой позиции (короткой гаммы), потому что собираемый нами временной распад – это доход, а связанная с этим короткая гамма может быть источником потерь (издержками).

Имеет смысл оценивать тету по всему портфелю.

Об операциях с «греками» опционов с различными сроками до истечения.

Основное правило при операциях с «греками» опционов с различными сроками до истечения следующее: когда базовые риски изменяются более-менее одинаково для различных опционных серий, сложение или вычитание «греков» имеет практический смысл. Например, дельты двух опционов с различными сроками до погашения, выписанных на один БА, можно складывать вместе, чтобы найти суммарный дельта-риск. Это имеет смысл, потому что для этих опционов базовый риск один (у них один и тот же БА), и когда цена на этот БА изменяется, она влияет на оба опциона, через их дельты, сопоставимым образом. А когда базовые риски не изменяются одинаково, сложение и вычитание греков не имеет практического смысла. Например, сложение вег опционов с различными сроками до погашения имеет смысл, если подразумеваемые волатильности (базовый риск в этом случае) изменяются идентично. Такие изменения могут случаться, но это, скорее, исключение, чем норма. Более распространенный вариант – это когда подразумеваемая волатильность опционов с более близким сроком до погашения выше, чем у опционов с дальним сроком до погашения. Это значит, что 1000 рублей вега-риска у более близких к погашению опционов нельзя точно сравнить с 1000 рублей вега-риска более дальних опционов, и поэтому их сложение или вычитание не очень полезная риск-метрика.

Дельту и гамму можно складывать без особых опасений, потому что БА один и тот же. Складывая веги нужно рассматривать каждый случай отдельно. Тета тоже складывается, так как время изменяется для всех опционов одинаково. Процентный риск (ро) и дивидендный риск обычно нет, так как эти факторы риска обладают своей собственной временной структурой.

Распределение рисков между гаммой, тетой и вегой в зависимости от срока до погашения.

Прежде чем купить опцион, вы должны спросить себя: “Насколько увеличится премия моего опциона при благоприятном движении цены базового актива?” Большинство людей не задают себе такого вопроса. Они думают, что могут купить любой опцион, и он будет дорожать при любом движении цены базового актива в благоприятную сторону. Но так происходит далеко не всегда. Быть может, вы сталкивались с такой ситуацией, что вы купили опцион, цена базового актива совершила значительное благоприятное движение, но стоимость вашего опциона практически не увеличилась или увеличилась, но совсем не так, как это сделала цена базового актива. Это значит, что вы купили опцион с маленькой дельтой или опцион вне денег (OTM).

– показывает насколько измениться стоимость опциона при изменении цены базового актива на один пункт.

В одном случае, когда опцион очень глубоко в деньгах, его стоимость меняется почти настолько же, насколько цена базового актива. Если цена базового актива повышается или понижается на один пункт, то и стоимость опциона меняется на один пункт. В другом случае, когда опцион сильно вне денег , даже при существенном изменении цена базового актива стоимость опциона меняется крайне незначительно. Трейдерам нравиться покупать опционы вне денег, так как они очень дёшевы. Но хотя они и дешёвы, они не дадут вам тот результат, который вы ожидаете.

Теоретически стоимость опциона не может расти или падать быстрее цены базового актива, поэтому дельта опциона Call изменяет значение от 0 до 1, а дельта опциона Put от -1 до 0. На рис.1 представлены дельты обоих опционов.

Почему так происходит? Если мы вспомним определения для опционов Call и Put , то всё станет ясно. Опцион Call становиться всё глубже в деньгах при повышении цены базового актива, поэтому его дельта стремиться к 1. А опцион Put становиться всё глубже в деньгах при падении цены базового актива. Знак “-” показывает направление движения цены.

На рис.2 показаны значения дельты для опционов Call и Put на различных страйках, которые транслирует биржа. Цена фьючерса на акции Газпрома составляла 30400.

Итак, дельта нам показывает насколько измениться стоимость опциона при изменении цены базового актива на один пункт. Давайте посмотрим насколько же измениться стоимость различных опционов при изменении цены на 100 пунктов. Притом, что остальные параметры (время, волатильность) не меняются.

Опцион Call 30000 является опционом на деньгах, его дельта равна 0,58. Значит при изменении цены на 100 пунктов, его стоимость измениться на 58 пунктов.

Опцион Call 28000 является опционом в деньгах, его дельта равна 0,78. Значит при изменении цены на 100 пунктов, его стоимость измениться на 78 пунктов.

Опцион Call 33000 является опционом вне денег, его дельта равна 0,27. Значит при изменении цены на 100 пунктов, его стоимость измениться всего лишь на 27 пунктов.

Всё то же самое применимо и к опционам Put.

Теперь вы можете сравнить, насколько мало прибавляют к своей стоимости опционы вне денег , по сравнению с опционами в деньгах.

Коэффициент хеджа

Так же значение дельты используется для построения дельта-нейтральных позиций. То есть таких позиций, при которых дельта равна 0 или близка к нулевому значению. Дельта показывает отношение базовых контрактов к опционам, необходимое для получения дельта-нейтральной позиции. Дельта базового актива всегда равна 1, поэтому коэффициент хеджа определяется делением 1 на дельту опциона. Дельта опциона на деньгах равна или близка 0,5. Поэтому коэффициент составляет 1/0,5 или 2/1. Чтобы создать дельта-нейтральную позицию при покупке двух опционов, необходимо продать один базовый актив (фьючерс).

Покупка 5 опционов Call с дельтой 0,46 требует продажи 2 фьючерсов:

0,46*5=2,3 – дельта 5 опционов, продаём 2 фьючерса с дельтой 1, получаем:

2,3-2=0,3 – дельта общей позиции.

Поскольку дельта опционов Put отрицательна, то их покупка хеджируется покупкой фьючерсов. Покупка опционов Put 32000 с дельтой -0,64 потребует покупки 3 фьючерсов на каждые 4 купленных опциона Put (1/0,64 ≈ 4/3).

До сих пор мы рассматривали дельта-нейтральные стратегии, построенные из опционов и фьючерсов. Но любой хедж, будь то опционы против фьючерсов или опционы против опционов, дельта-нейтрален пока дельта общей позиции равна нулю или около нуля. Например, покупка 2 опционов Call 30000 с дельтой 0,58 требует покупки 2 опционов Put 31000 с дельтой -0,54:

0,58*2 + (-0,54*2) = 0,08

Позиция может быть любой сложности, и состоят из фьючерсов, опционов Call и Put с разными страйками и датами исполнения, но пока дельты в сумме примерно равны 0, мы можем говорить о дельта-нейтральной позиции.

Вывод. Дельта колеблется диапазоне от 0 до 1 для опционов Call и от 0 до -1 для опционов Put. Дельта опциона Call на деньгах равна примерно 0,5 для опционов Put -примерно -0,5. С уменьшением времени или со снижением волатильности дельта опционов Call отдаляется от 0,5, а опционов Put – от -0,5.

Рад всех приветствовать на новой статье, посвященной торговле опционами. Сегодня мы будем продвигаться дальше в этой теме и начнем разговор о параметрах опционов. Ранее мы уже обозначили, что мир опционов многовариантный. Теперь, когда речь зайдет о премии, мы отметим, что в опционах и премия состоит из нескольких параметров.

Таблица параметров опционов

Например, если обратиться к соответствующей таблице в квике на РФ, мы увидим следующую картину (приведено для текущих опционов, экспирация которых намечена на 15 августа)

До исполнения осталось всего три дня и это накладывает отпечаток на общую картину по параметрам, почему так мы обговорим позже, а пока обратимся к колонкам таблицы. После уже известного нам параметра “теоретическая цена” идут как раз параметры опционов, которые нам и нужны. Все они обозначены греческими буквами и потому условно называются греками опционов. Как мы видим, греки включают дельту, гамму, тету, вегу (и еще один грек - ро, не обозначен в данной таблице). Все эти параметры отвечают за количественное выражение премии опциона. Знаю, выглядит громоздко, запутанно, поэтому мы будем разбираться медленно и постепенно. Итак, сегодня смотрим на колонку ДЕЛЬТА.

Что такое дельта опциона

Обратимся к классическому определению: дельта опциона это параметр, который показывает, на сколько изменится премия опциона, если изменится на 1%. Сразу запоминаем важное правило: дельта базового актива всегда равняется единице! Если базовый (например, фьючерс РТС) вырастет на 1%, то и его стоимость вырастет на 1%. Логично? Логично, но для опциона это не так.

Например, сейчас РТС ближе всего к 120му страйку, его и рассмотрим. Ищем на первом скрине страйк 120. В колонке “дельта” мы видим два значения: для 120-го колла дельта составляет 0,53, для 120-го пута дельта составляет -0.47. Разберемся в том, что это значит. Пусть индекс РТС стоит 120 000 и требует для торговли 11308,07 руб. гарантийного обеспечения, а колл со 120м страйком (возьмем для примера теоретическую цену) 1660 (помним, что это цена в пунктах; в рублях с учетом стоимости шага цены 7,1938 руб стоимость такого опциона составляет 1194,17 руб.). В упрощенном примере мы видим, что если пройдет вверх 1%, то наш прибавит 0,53% в стоимости. Меньше, чем ? Так и соотношение гарантийного обеспечения значительно ниже: 11308,07/1194,17 - почти в 9 с половиной раз ниже.

Что необходимо знать о дельте опциона?

1. Дельта коллов является положительным числом, а дельта путов - отрицательная.

2. Дельта изменяется от нуля до единицы и никогда не выходит за эти рамки. 3. Сумма дельты колла и пута по одному страйку, взятая по модулю, будет всегда равна единице. 4. Дельта опционов в деньгах как правило выше (по модулю) 0,5, дельта опционов вне денег как правило ниже 0,5, дельта опционов в деньгах как правило стремится к 0,5 (чем ближе к страйку, тем больше приближается к значению 0,5).

Дельта опциона и эффект плеча

Если говорят о большом плече при покупке опционов, то проще всего продемонстрировать это как раз через дельту. Вернемся к рассмотренному примеру. Мы уже отмечали, что ГО фьючерса больше ГО опциона более чем в 9 раз, таким образом на одну и ту же сумму мы можем взять 1 фьючерс или 9 коллов со страйком 120. ГО фьючерса = 11308,07 руб. ГО взятых опционов = 1194,17 руб * 9 = 10747,53 руб. При этом вспоминаем, что дельта фьючерса всегда будет равна единице. А какая будет итоговая дельта опционов? Дельта взятых опционов умножается на количество опционов, т.е. 0,53 мы умножаем на 9 и получаем 4,77%. Это означает что при движении фьючерса на 1% вверх, его стоимость изменится на 1% а стоимость взятых опционов (которая в итоговом выражении получилась даже ниже ГО фьючерса) изменитя на 4,77%. Разумеется, соизмеримо увеличатся и риски , поэтому сразу хочется отметить, что рассмотренная ситуация не является торговой стратегией. Точно также как и в акциях, не стоит брать “на все”. Ситуация в данном случае демонстрирует исключительно возможность плеча по конкретному инструменту. Будьте внимательны, берегите себя и свой депозит. А в следующей статье мы продолжим изучение параметров опционов. Предыдущие статьи легко найти из моего

  • Математика ,
  • Visual Basic for Applications

    • Статья адресована и будет полезна в первую очередь тем, кто начал изучать опционы и хочет разобраться в их ценообразовании. Ну и во вторую очередь тем, кто ещё не использует инструмент VBA в своих расчётах в екселе, но хочет научиться - вы увидите, как это на самом деле просто.

    Основы опционов

    Для начала кратко о сути и ценообразовании опционов. Опцион имеет четыре основных параметра:

    1. Базовый актив
    2. Тип опциона (Колл или Пут)
    3. Цена страйка (цена исполнения опциона)
    4. Дата экспирации (истечения) опциона

    Для покупателя опциона он представляет собой право купить (опцион Колл) или продать (опцион Пут) базовый актив по цене страйка в день экспирации. Для продавца опциона он представляет собой обязанность продать (опцион Колл) или купить (опцион Пут) базовый актив по цене страйка в день экспирации. Фактически опцион представляет собой страховку от изменения цены базового актива (БА) от момента сделки до даты экспирации - в роли страховщика выступает продавец (в случае неблагоприятного изменения цены БА он выплачивает страховку покупателю опциона), а страхователем является покупатель опциона (он платит за страховку продавцу).

    Как и цена страховки цена опциона полностью определяется вероятностью «страхового случая», т.е. исполнения опциона (исполнения права покупателя опциона). Основные составляющие, которые влияют эту вероятность и на цену опциона, на стоимость страховки, которую платит покупатель и получает продавец:

    • Разница между ценой страйка и ценой базового актива . Т.е. при покупке Колла, чем выше его страйк, тем он дешевле (т.к. снижается вероятность того, что на момент экспирации БА будет выше цены страйка)
    • Волатильность базового актива. Чем выше волатильность (грубо размах колебаний цены) БА, тем выше вероятность достичь страйка до экспирации.
    • Время до экспирации . Чем больше времени до экспирации опциона, тем при покупке Колла выше вероятность что за это время цена базового актива уйдёт выше страйка, соответственно цена опциона выше.

    При этом зависимость цены опциона по каждой из этих трёх составляющих нелинейная . Ставшая общепринятой формула оценки опционов с учётом этих основных факторов была выведена Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 году.

    Формула Блэка-Шоулза имеет следующий вид (подробно можно посмотреть в Википедии):

    Цена (европейского) опциона call:


    Цена (европейского) опциона put:

    Обозначения:
    C(S,t) - текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона (до экспирации);
    S - текущая цена базового актива;
    N(x) - вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения (таким образом, и ограничивают область значений для функции стандартного нормального распределения);
    K - цена исполнения опциона;
    r - безрисковая процентная ставка;
    T - t - время до истечения срока опциона;
    - волатильность доходности (квадратный корень из дисперсии) базового актива.

    Греки опционов

    Для оценки чувствительности цены опциона к цене БА, волатильности, и времени до экспирации, применяют коэффициенты, называемые Греками (коэффициенты в основном обозначаются греческими буквами, за исключением «веги»).

    Греки в модели Блэка-Шоулза вычисляются следующим образом:

    1. Дельта () - скорость изменения цены опциона от изменения цены БА. Для опциона Колл дельта равна , для опциона Пут . Дельта показывает текущий наклон кривой стоимости опциона в зависимости от цены БА.

    2. Гамма () - скорость изменения цены опциона от изменения Дельты (или ускорение от изменения цены БА). Гамма равна .

    3. Вега () - описывает зависимость цены опциона от изменения волатильности БА: . Вега отражает число пунктов изменения стоимости опциона на каждый процентный пункт (1%) изменения волатильности.

    4. Тета () - описывает снижение цены опциона в зависимости от времени до экспирации. Для Колла - , для Пута - .

    Вышеприведенные формулы верны для общего случая, в том числе для случая опционов на акции. Для расчёта опционов на фьючерсные контракты безрисковая ставка r не применяется. Т.к. на Московской бирже торгуются опционы на фьючерсы, далее в расчётах процентную ставку не учитываем.

    Реализация модели в MS Excel

    Итак, реализация модели Блэка-Шоулза в Excel+VBA.

    Для удобства создадим функцию для каждой переменной из модели БШ. В каждой функции будут входные переменные:

    S - цена БА
    X - цена страйка
    d - число дней до экспирации
    y - число дней в году
    v - волатильность
    OptionType - тип опциона «Call» или «Put» (только для расчета цены и дельты)

    Запись обычной функции в VBA выглядит следующим образом:

    Function НазваниеФункции(входные переменные через запятую)
    … вычисления…
    НазваниеФункции =… вычисления…
    End Function

    Такую функцию можно вызывать как из других функций, так и из листа Excel.
    Функции записываются в созданный Модуль (запускаем VBA в Excel, например нажатием Alt+F11, выбираем Insert -> Module):

    Function d_1(S, X, d, y, v)

    T = d / y
    d_1 = (Log(S / X) + (0.5 * (v ^ 2)) * T) / (v * (T ^ 0.5))
    End Function

    Function d_2(S, X, d, y, v)
    T = d / y
    d_2 = d_1(S, X, d, y, v) - v * (T ^ 0.5)
    End Function

    Function Nd_1(S, X, d, y, v)
    Nd_1 = Application.NormSDist(d_1(S, X, d, y, v))
    End Function

    Function Nd_2(S, X, d, y, v)
    Nd_2 = Application.NormSDist(d_2(S, X, d, y, v))
    End Function

    Function N_d_1(S, X, d, y, v)
    N_d_1 = Application.NormSDist(-d_1(S, X, d, y, v))
    End Function

    Function N_d_2(S, X, d, y, v)
    N_d_2 = Application.NormSDist(-d_2(S, X, d, y, v))
    End Function

    Function N1d_1(S, X, d, y, v)
    T = d / y
    N1d_1 = 1 / (2 * Application.Pi()) ^ 0.5 * (Exp(-0.5 * d_1(S, X, d, y, v) ^ 2))
    End Function

    Function OptionPrice(OptionType, S, X, d, y, v)
    If OptionType = «Call» Then
    OptionPrice = S * Nd_1(S, X, d, y, v) - X * Nd_2(S, X, d, y, v)

    OptionPrice = X * N_d_2(S, X, d, y, v) - S * N_d_1(S, X, d, y, v)
    End If
    End Function

    Function Delta(OptionType, S, X, d, y, v)
    If OptionType = «Call» Then
    Delta = Application.NormSDist(d_1(S, X, d, y, v))
    ElseIf OptionType = «Put» Then
    Delta = Application.NormSDist(d_1(S, X, d, y, v)) - 1
    End If
    End Function

    Function Theta(S, X, d, y, v)
    T = d / y
    Theta = -((S * v * N1d_1(S, X, d, y, v)) / (2 * (T ^ 0.5))) / y
    End Function

    Function Gamma(S, X, d, y, v)
    T = d / y
    Gamma = N1d_1(S, X, d, y, v) / (S * (v * (T ^ 0.5)))
    End Function

    Function Vega(S, X, d, y, v)
    T = d / y
    Vega = (S * (T ^ 0.5) * N1d_1(S, X, d, y, v)) / 100
    End Function

    Готовый Excel-файл можно скачать по ссылке .

    Теперь в екселевской ячейке можем вызывать любую прописанную нами функцию, например введя в ячейке =OptionPrice(«Put»;76870;90000;13;365;0.47) мы получим теоретическую цену опциона Пут при цене базового актива 76870, страйке 90000, предполагаемой волатильности 45% и за 13 дней до экспирации.

    Некоторые моменты, которые хотелось бы отметить

    • Полученные в нашей программе значения теорцены практически идентичны тем, что транслирует Мосбиржа, это значит что биржа в своих расчётах использует именно модель БШ.
    • На самом деле опцион (как и страховка) не имеет истинной справедливой стоимости - она для каждого своя, и зависит от того какая предполагается волатильность или например какое учитывать число дней (учитывать ли выходные, с каким весом учитывать разные дни недели, сколько дней в году использовать в формуле) и т.д.
    • Греки обладают замечательным свойством - чтобы получить значение греков для портфеля фьючерсов и опционов нужно просто сложить соответствующие греки для отдельных активов портфеля. Т.е. мы легко можем рассчитать, например, сколько нужно купить/продать базовых фьючерсов чтобы общая стоимость портфеля не изменялась при изменении цены этого фьючерса (т.н. выравнивание Дельты или дельта-хеджирование).
      • vba
    Добавить метки